Application du théorème de réciprocité à la détermination de la dérivée de Fréchet de l'opérateur non linéaire de propagation d'ondes mécaniques en milieux viscoélastiques
Résumé
The elastodynamic equations express a nonlinear link between the mechanical parameters and the displacements. Such a nonlinearity is one of the difficulties encountered when the inverse problem is addressed. For each mechanical parameter, we propose a formulation of the Fréchet derivative. Its role is to linearise locally the forward problem, by allowing to associate a small variation of displacements to a small variation of the studied parameter. its calculus is based on the reciprocity theorem, moreover, the numerical evaluation of this derivative involves solving the forward problem for the studied configuration, and those of the fictitious configurations resulting from a permutation of the emitter with each receiver. Mechanical parameters lead to different expressions of the Fréchet derivative, which can then be used to propose efficient inversion algorithms.
Les équations de l’élastodynamique expriment une non linéarité entre les paramètres mécaniques et le champ des déplacements. Cette non linéarité fait partie des difficultés rencontrées lorsqu’on souhaite traiter le problème inverse. Nous proposons une méthode de calcul de la dérivée de Fréchet pour chaque paramètre mécanique. Son rôle est de linéariser localement le problème direct, ce qui permet d’associer à toute variation du paramètre étudié une variation du champ des déplacements résultant. Son calcul s’appuie sur le principe de réciprocité. Son évaluation numérique implique de résoudre le problème direct de la configuration étudiée, plus ceux des configurations fictives obtenues en permutant tour à tour l’émetteur avec les récepteurs. L’ensemble des paramètres mécaniques donne lieu à différentes expressions de la dérivée de Fréchet, qui pourront être introduites dans des algorithmes d’inversion performants.